Penjelasan materi Peta Karnaugh serta Maxterm dan Minterm

Peta Karnaugh (K-MAP) 

Peta Karnaugh atau Karnaugh Map atau K-Map adalah suatu teknik penyederhanaan ekspresi aljabar Boole (fungsi logika aljabar boolean) dengan cara pemetaan yang ditemukan oleh seorang ahli fisika dan matematika bernama Maurice Karnaugh pada tahun 1953. K-map ini sering juga dikenal sebagai Karnaugh –Veitch map karena metode ini disempurnakan oleh seorang ahli komputer: Edward Veitch. Peta Karnaugh ini terdiri dari kotak-kotak dua dimensi yang disusun mengikuti aturan kode gray dari fungsi logika rangkaian digitalnya dan tiap sel atau kotak itu berisi kode biner: 0 atau 1 yang menyatakan keadaan output dari fungsi rangkaian elektronikanya (= 1 jika outputnya aktif).

• f(A,B,C,D) = E(6,8,9,10,11,12,13,14)

• Output F akan aktif (=1) saat input = AC' + AB' + BCD' + AD'

Metode untuk menyederhanakan fungsi persamaan logika sehingga (Freddy Kurniawan: Sistem Digital):

1. Menggunakan jumlah gerbang lebih sedikit sehingga waktu tunda total untai menjadi lebih kecil
2. Kemungkinan resiko kegagalan fungsi lebih kecil karena penggunaan gerbang dan perkawatan yang lebih sedikit
3. Daya total yang dikonsumsi untai logika juga akan lebih kecil.
4. Hemat biaya

Menyederhanakan fungsi persamaan logika sebenarnya juga bisa dilakukan dengan menggunakan aturan-aturan baku seperti:

• Distributif. Misalnya (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ≡ p ∧ (q ∨ r)  atau (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ≡ p ∨ (q ∧ r). 
• De Morgan seperti ~p ∨ ~q ≡ ~(p ∧ q) atau ~p ∧ ~q
• Hukum penyerapan  seperti p ∧ (p ∨ q) ≡ p atau p ∨ (p ∧ q) ≡ p

K-Map terdiri dari kotak-kotak yang jumlahnya terdiri dari jumlah variable dan fungsi logika atau jumlah inputan dari rangkaian logika yang sedang kita hitung.

Langkah – langkah pemetaan K-Map secara umum :

1. Menyusun aljabar Boolean terlebih dahulu

2. Menggambar rangkaian digital

3. Membuat Table Kebenarannya

4. Merumuskan Tabel Kebenarannya

5. Lalu memasukkan rumus Tabel Kebenaran ke K-Map (Kotak-kotak)

Langkah-langkah dalam menggunakan K-map :

- Konversikan persamaan Boolean yang diketahui ke dalam bentuk persamaan SOP-nya (Sum of Product). Gunakan Tabel Kebenaran sebagai alat bantu.

- Gambarlah K-map, dengan jumlah sel = 2 ^ jumlah variabel input.

- Isi sel K-map sesuai dengan minterm pada Tabel Kebenaran.

- Cover minterm-minterm bernilai 1 yang berdekatan, dengan aturan :

1. Hanya minterm berdekatan secara vertikal atau horizontal yang boleh di-cover.

2. Jumlah minterm berdekatan yang boleh di-cover adalah : 2. 4, 8, 16, 32

- Buat persamaan SOP baru sesuai dengan hasil peng-cover-an minterm. 

Jenis-Jenis K-Map

• K-Map 2 variabel
• K-Map 3 variabel
• K-Map 4 variabel
• K-Map 5 variabel
• K-Map 6 variabel
• 
  
  Salah satu contoh penerapan dari K-Maps dalam dunia aljabar Boolean adalah:
• 
  
• 
• 
  

• • Jenis - Jenis Peta Karnaugh :

  • 
    
    
    
    
    

  • • Contoh Soal Peta Karnaugh :

    • H = ABCD + ABCD’+AB’CD+ABC’D

    • Maka cara pengerjaanya seperti dibawah ini :

    • => 

      
    • 
      
    
    
    Maxterm adalah suku dalam persamaan yang memiliki  hubungan operasi OR antar variabel secara lengkap. Dan antar suku di hubungkan dengan operasi AND. 
    Maxterm merupakan suatu penjumlahan 2 variable atau lebih yang berorientasi pada nilai 0. Contoh: Tunjukkan fungsi Boolean Y= AB + AC dalam Maxterm.
    Minterm adalah suku dalam persamaan yang memiliki hubungan operasi AND antar variabel secara lengkap. Dan antar suku dihubungkan dengan OR. Minterm merupakan suatu perkalian 2 variable atau lebih yang berorientasi pada nilai 1,  minterm sesuai namanya disimbolkan dengan huruf m kecil. Contoh: Tunjukkan fungsi Boolean F = AB x BC dalam minterm.
    
    
    fungsi Boolean yang berhubungan dengan minterm dan Maxterm terdiri dari 2 bentuk yaitu SOP dan POS.
    SOP kepanjangannya adalah Sum of Product, Yang memetakan penjumlahan dari perkalian, disebut juga sebagai bentuk Minterm yang memetakan Σmi, Sedangkan POS adalah Product of Sum, Yang memetakan perkalian dari penjumlahan, disebut sebagai bentuk Maxterm yang memetakan Πmi, Adapun bentuk minterm dan maxterm mempunyai 2 atau lebih variable.
    
    
    
    
    
    1. SOP (Sum Of Product) / Penjumlahan dari hasil kali
    Pada bentuk ini fungsi dinyatakan dengan penjumlahan dari hasil perkalian literal-literal fungsi. Masing-masing suku yang dijumlahkan disebut minterm. Dalam penulisan, minterm disimbolkan dengan huruf m kecil diberi indeks angka yang menunjukkan perkalian literal yang diwakilinya. Contohnya : f(x,y)= x'.y' + x.y' dapat ditulis sebagai m0 + m2. Suku x'.y' ditulis dengan indeks 0 karena jika literal dikomplemenkan artinya menunjukkan angka 0, sehingga x'.y'= 00 biner, dalam desimal ditulis 0. Suku x.y' menunjukkan angka 10 biner, sehingga indeksnya adalah 2 karena 10 salam biner sama dengan 2 dalam desimal. Demikian seterusnya, aturan semacam ini berlaku juga untuk literal yang lebih banyak.
    2. Bentuk POS (Product Of Sum) / Perkalian dari hasil jumlah
    Pada bentuk ini fungsi dinyatakan dengan perkalian dari hasil penjumlahan literal-literal fungsi. Masing-masing faktor yang dikalikan disebut maxterm. Dalam penulisan, maxterm disimbolkan dengan huruf M kapital diberi indeks angka yang menunjukkan penjumlahan literal yang diwakilinya. Contohnya : f(x,y)= (x+y).( x'+y) dapat ditulis sebagai M0 . M2. Faktor x+y ditulis dengan indeks 0 karena jika literal tidak dikomplemenkan artinya menunjukkan angka 0, sehingga x+y = 00 biner, dalam desimal ditulis 0. Faktor x'+y menunjukkan angka 10 biner, sehingga indeksnya adalah 2 karena 10 dalam biner sama dengan 2 dalam desimal. Demikian seterusnya, aturan semacam ini berlaku juga untuk literal yang lebih banyak.
    
    
    Contoh Soal : 
    Membuat ekspresi Boolean dalam bentuk SOP dan POS dari tabel kebenaran ini 
    
    
    
    
    
    
    

    Daftar Pustaka :

    https://helmifadhiel.wordpress.com/2015/11/16/karnaugh-map-beserta-penjelasannya/
    https://binus.ac.id/bandung/2019/12/metode-k-maps/
    https://haidaroh.blogspot.com/2016/11/gerbang-kombinasi-minterm-maxterm.html
    https://matkul.xyz/memahami-fungsi-boolean-bentuk-kanonik-dan-bentuk-baku-pada-sistem digital/
    https://bundet.com/d/1722-pembahasan-soal-fungsi-boolean